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在之前的文章《》,我们介绍是CHAID算法，今天我们介绍另外一种用得非常广泛的决策树算法C5.0，该算法是专属于RuleQuest 研究有限公司（//www.rulequest.com/）。

对于决策树算法来说，核心技术就是如何确定最佳分组变量和分割点，上次我们介绍的CHAID是以卡方检验为标准，而今天我们要介绍的C5.0则是以信息增益率作为标准，所以首先我们来了解下信息增益（Gains），要了解信息增益（Gains），先要明白信息熵的概念。

信息熵是信息论中的基本概念，信息论是1948年由C.E.Shannon提出并发展起来的，主要用于解决信息传递中的问题，也称统计通信理论。这些技术的概念很多书籍或者百度一下都有具体的介绍，我们这里不再赘述，我们通过一个例子来理解信息量和信息熵。

在拳击比赛中，两位对手谁能获得胜利，在对两位选择的实力没有任何了解的情况下，双方取得胜利的概率都是1/2,所以谁获得胜利这条信息的信息量,我们通过公式计算  :

其中p是每种情况出现的概率,这里计算出来的1bit就是谁获得胜利这条信息的信息量。如果信息是最后进入四强的选手谁获得最终胜利，它的信息量是  :

对比这个例子可以看到，不确定性越高，信息量就越大。

信息熵是信息量的数学期望，数学期望听起来有点陌生，但均值我相信大家都明白，那么在概率论和统计学中，数学期望指的就是均值，它是试验中每次可能出现的结果的概率乘以其结果的总和，它反映随机变量平均取值的大小。信息熵是平均信息量，也可以理解为不确定性。因此，信息熵的计算公式是:

仍以前面拳击比赛为例子，如果两对对手获胜的概率都为50%，那么信息熵:

如果两位对手A和B,根据以往的比赛历史经验判断，A胜利的概率是80%，B胜利的概率是20%,那么信息熵 : 

对比以上结果，可以看到，经验减少了判断所需的信息量，消除了不确定性，A胜利的概率越高，计算出的信息熵就越小，也就是说，越是确定的事情，信息熵就越小。

理解了信息熵之后，我们回到C5.0这个算法，前面讲到， 确定该决策树最佳分组变量和分割点标准是信息增益率，我们通过例子来理解信息增益的内容。

还是以上面的例子，比赛胜利与失败是结果，那么影响这个结果的会有很多因素，这些因素是用来帮助我们判断结果的依据，一般会消除不确定性，那么消除不确定性的程度就是信息增益。

如下图：我们判断选择是否获胜的影响因素有选手类型T1（这里的类型分别为A攻击型、B综合型、C防守型）和是否单身T2（1表示非单身，0表示单身），我们收集到的数据如下：

在没有影响因素的时候，直接对结果是胜利还是失败的判断，这个信息熵我们称为初始熵，当加入了影响因素，或者是说增加了一些辅判断的信息，这时的信息熵我们称为后验熵，信息增益就是初始熵减去后验熵得到的结果，它反映的是消除不确定性的程度。计算公式如下：

Gains(U,T)=E(U)-E(U/T)

E(U)是初始熵，也就是是否获胜这个结果的信息熵，我们用公式计算   

这个公式不难理解，上表中一共14条记录，9条结果是Y,5条结果N，也就是说，Y的概率是9/14,N的概率是5/14,信息量分别是:

和 

信息熵就是每次可能结果的概率乘以其结果的总和，所以得到上面的计算结果。

E(U/T)是后验熵，我们先以T1为例，T1有三种结果，分别是A、B、C,每一个的概率分别是5/14,4/14,5/14。

在A这一类型里面，一共有5条记录，其中结果为Y的概率是2/5,结果为N的是3/5。因此获取结果为A的信息熵为

同理，

B类型的信息熵为:

C类型的信息熵为:

因此

而信息增益Gains(U,T1)=E(U)-E(U/T1)=0.940-0.694=0.246

接下来，对T2进行信息增益的计算，得到的结果为:

通过计算可以看到Gains(U,T1)>Gains(U,T2),因此，应该选择信息增益最大的输入变量T1作为最佳分组变量，因为它消除的不确定性程度最大，换句话说，就是因为有了T1这个信息，要确定结果是胜利与否的把握程度要比T2这个信息更高了。

可能，有人会注意到，计算信息增益Gains的时候，类别的值越多，计算得到的Gains值就越大，这会使得类别元素多的指标有天然优势成为分割节点，因此在C5.0算法中，不是直接使用信息增益，而是使用信息增益率来作为分割标准。

所以，信息增益率:

同理 

因此，GainsR(U,T1)> GainsR(U,T2)，还是要选择T1作为当前最佳分组变量。

那么以上是针对分类变量的情况，如果是数值变量，那跟我们之前文章讲到的CHAID算法一样，对数值变量进行离散化成为区间，在C5.0里面，使用的是MDLP的熵分箱方法 (还记得吗？CHAID使用的是ChiMerge分组方法)，MDLP全称是“MinimalDescription Length Principle”，即最短描述长度原则的熵分箱法。基于MDLP的熵分箱的核心测度指标是信息熵和信息增益。

MDLP分箱法，计算步骤如下：

· Step1:首先也是对连续变量作排序;

· Step2:取两相邻值的平均作为分割点的值，分别计算每个分割点的信息增益， 取信息增益最大的分割点作为第一个分割点。

· Step3:第一个分割点确定后，分为两组，针对第一组和第二组，分别重复Step2,确定下一个分割点。

· Step4:停止条件：当每一组计算得到的最大信息增益值小于标准时，就无需再继续下去，即确定的分割点，必须满足：

在决策树生长完成之后，为了避免它过于“依赖”训练样本出现过度拟合的问题，需要对树进行剪枝，C5.0采用后修剪方法从叶节点向上逐层剪枝，其关键的技术点是误差估计以及剪枝标准的设置。C5.0使用了统计的置信区间的估计方法，直接在Training Data中估计误差。

估计误差使用的公式如下：

f为观察到的误差率（其中E为N个实例中分类错误的个数）

e为真实的误差率，a为置信度（ 默认值为0.25），z为对应于置信度a的标准差，其值可根据a的设定值通过查正态分布表得到（这里a=0.25，对应的Za/2=1.15）。通过该公式即可计算出真实误差率e的一个置信度上限，用此上限为该节点误差率e做一个悲观的估计。

计算了每个分支节点的误差估计之后，按“减少-误差（Reduce-Error)”法判断是否剪枝。首先，计算待剪子树中叶节点的加权误差；然后与父节点的误差进行比较，如果计算待剪子树中叶节点的加权误差大于父节点的误差，则可以剪掉，否则不能剪掉。

这里值得注意的是，C5.0算法只支持分类变量作为目标，不支持连续变量作为目标。

在C5.0算法里面，它的独特之处是，除了构建决策树，还能够生成推理规则集，它的一般算法是PRISM(Patient Rule Introduction Space Method),它所生成的规则集跟其它决策树算法生成的规则集原理并不一样，其它决策树生成的规则集是根据决策树生长结果，得到的规则，如下图（以C5.0生成决策树为例）：

而C5.0里面构建规则集，是在生成模型之前就可以选择”规则集”

然后生成的模型结果就不是树状图，而是以下的规则内容：

那么对于C5.0算法中，生成推理规则算法PRISM的具体计算逻辑，感兴趣的朋友可以给我们留言，我们下次再做具体介绍。

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